朱载堉用一把 81 档算盘，算出 2 的十二次方根

今天几乎所有键盘乐器——钢琴、电子琴、合成器——都按同一套规则调音：把一个八度分成完全相等的十二份。乐手按下一个 C，再按高八度的另一个 C，两个音之间隔着十二个「半音」，每个半音比前一个高相同的比例。

这套规则叫十二平均律。它背后有一个精确到极点的数字：

1.059463094359295264561825

这是 2 的十二次方根。四百多年来，全世界的音乐都建立在这个数字上。而最早把这道开方题算对的人，是中国明朝的一位宗室——朱载堉。他用的工具，是一台 81 档的大算盘。

一道困了两千年的乐律题

音的高低由振动频率决定，频率翻一倍，音就高一个八度。人们希望在一根弦上，从低音到高八度那个音之间，排出十二个音，让它们任意两个相邻音之间的比例都完全相等。

这件事为什么难？难就难在这个「完全相等」上。

中国古代的主流做法叫三分损益法：以一根弦为基准，取它的三分之二、再取三分之四，逐一生出下一个音。这套方法早在先秦就有，能排出音阶，却有一个致命的缺陷——算到第十二个音时，音高回不到起点，总会差那么一截。等于你绕了一圈，最后一步迈不回原来的位置。

这带来一个实际后果：乐器没法自由转调。一套调好的编钟、一张定好的琴，弹着弹着想换个调门，就得重新调律。两千多年里，乐律家们都卡在这里。

一个算出来的答案

朱载堉（1536—1611）是明太祖朱元璋的九世孙，郑恭王朱厚烷的儿子。他出身明宗室贵胄，大半生都投入算盘与律管之间；父亲遭诬下狱后，他更是在宫门外筑土屋独居十九年，埋头钻研乐律、数学与历法。

他的答案是：既然十二个音的间隔要完全相等，那相邻两个音的频率比就该是一个固定的数。这个数连着乘十二次，正好等于 2——也就是把八度音程等分成十二份。写成数学式，就是求出 2 的十二次方根。

思路清晰，难在执行。十二次方根要连着开平方、开立方，对精度要求极高。朱载堉特制了一台 81 档的大算盘，逐档推进开方运算。他最终算出的结果，精确到 25 位有效数字：

1.059463094359295264561825

把这个数连乘十二次，恰好回到 2，八度音程完美闭合，两千年的难题就此解开。

万历十二年（1584 年），朱载堉把这个结果写进了他的乐律著作，命名为**「新法密率」**。后来人们更熟悉的叫法，就是十二平均律。

名字叫「平均律」，其实不是同一回事

这里要分清两个常被混为一谈的东西。

朱载堉发明的是十二平均律——八度音程被严格等分成十二份，每一份都一模一样。这是数学意义上的「平均」。

而西方音乐史上那部鼎鼎大名的《平均律键盘曲集》，是巴赫在 1722 年与 1742 年先后完成的两卷键盘作品。它标题里的「平均律」来自日文译法，原意其实更接近**「合宜调律」**（well temperament）——一种让各个调听起来都大致顺耳的调法，与把八度严格等分的十二平均律并不是一回事。

这两个词长期被混用，也让不少读者以为「巴赫创立了十二平均律」。实际上，巴赫这套作品第一卷完成的 1722 年，距朱载堉首次提出新法密率已过去 138 年。

十二平均律的后世回响

朱载堉的成果，影响远超出他自己那间书斋。

他是世界上最早给出精确十二平均律的人。1605 年，荷兰数学家西蒙·斯特芬在一份手稿里尝试计算十二平均律，算出的弦长数字偏差了一份到两份，并不正确。欧洲学者在很长一段时间里没能达到朱载堉那样的精度，十二平均律在欧洲真正获得普遍应用，要到十九世纪。

今天的钢琴按十二平均律调音；现代音乐里任何两个相邻半音，都严格相差 2 的十二次方根这个比例。人们拨动琴键、弹下和弦、自由转调，这些习以为常的事，都建立在一个明朝人用算盘一档一档开出来的数字之上。

音乐听起来很抽象，但它的地基是一个精确的数字。而把这个数字最早算对的人，名叫朱载堉。